Question

18．设A，B均为非空集合，且A∩B=∅，A∪B={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N^*）．记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a∈B，且b∈A”的集合对（A，B）的个数为a_n．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先用列举法写出A∪B，再找出满足条件的情况即可；                                              
（2）用列举法写出A∪B，对n分奇偶数讨论即可，找出满足条件的情况即可．

解答 解：（1）当n=3时，A∪B={1，2，3}，且A∩B=∅，
若a=1，b=2，则1∈B，2∈A，共$C_1^0$种；
若a=2，b=1，则2∈B，1∈A，共$C_1^1$种，
所以a₃=$C_1^0$$+C_1^1=2$；                                             
当n=4时，A∪B={1，2，3，4}，且A∩B=∅，
若a=1，b=3，则1∈B，3∈A，共$C_2^0$种；
若a=2，b=2，则2∈B，2∈A，这与A∩B=∅矛盾；
若a=3，b=1，则3∈B，1∈A，共$C_2^2$种，
所以a₄=$C_2^0$$+C_2^2=2$．                                              
（2）当n为偶数时，A∪B={1，2，3，…，n}，且A∩B=∅，
若a=1，b=n-1，则1∈B，n-1∈A，共$C_{n-2}^0$（考虑A）种；
若a=2，b=n-2，则2∈B，n-2∈A，共$C_{n-2}^1$（考虑A）种；
…
若a=$\frac{n}{2}-1$，b=$\frac{n}{2}+1$，则$\frac{n}{2}-1$∈B，$\frac{n}{2}+1$∈A，共$C_{n-2}^{\frac{n}{2}-2}$（考虑A）种；
若a=$\frac{n}{2}$，b=$\frac{n}{2}$，则$\frac{n}{2}$∈B，$\frac{n}{2}$∈A，这与A∩B=∅矛盾；
若a=$\frac{n}{2}+1$，b=$\frac{n}{2}-1$，则$\frac{n}{2}+1$∈B，$\frac{n}{2}-1$∈A，共$C_{n-2}^{\frac{n}{2}}$（考虑A）种；
…
若a=n-1，b=1，则n-1∈B，1∈A，共（考虑A）$C_{n-2}^{n-2}$种，
所以a_n=$C_{n-2}^0+$$C_{n-2}^1$+…+$C_{n-2}^{\frac{n}{2}-2}$+$C_{n-2}^{\frac{n}{2}}$+…+$C_{n-2}^{n-2}={2^{n-2}}-C_{n-2}^{\frac{n}{2}-1}$；        
当n为奇数时，同理得，a_n=$C_{n-2}^0+$$C_{n-2}^1$+…+$C_{n-2}^{n-2}={2^{n-2}}$，
综上得，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^{n-2}}-C_{n-2}^{\frac{n}{2}-1}，n为偶数\\{2^{n-2}}，n为奇数.\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的第n项的求法，属中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．