Question

设a＞0，b＞0，a+b=1．
（1）试比较a²+b²与ab的大小；
（2）证明：ab+

1

ab

≥4

1

4

．

Answer 1

分析：（1）用作差法比较两个数的大小，先做差，再对所得的差配方得出差的符号，即可判断出两式的大小；
（2）先将不等式转化为ab+

1

ab

≥4

1

4

?4a²b²-17ab+4≥0然后再整理成两个因子的乘积即ab+

1

ab

≥4

1

4

?（4ab-1）（ ab-4）≥0，由此判断知需要先研究ab的取值范围，再判断（4ab-1）（ ab-4）≥0成立，即可证明不等式

解答：解：（1）∵a＞0，b＞0
∴a2+b2-ab=(a-

b

2

)2+

3

4

b2＞0
∴a²+b²＞ab．…（5分）
（2）证明：ab+

1

ab

≥4

1

4

?4a²b²-17ab+4≥0
??（4ab-1）（ ab-4）≥0．
∵ab=（

ab

）²≤(

a+b

2

)2=

1

4

，
∴4ab≤1，
而又∵a+b=1
∴ab≤

1

4

＜4，
因此（4ab-1）（ab-4）≥0成立，故ab+

1

ab

≥4

1

4

．…（12分）

点评：本题考查不等式的证明与大小比较，解题的关键是掌握不等式的证明方法比较法，及等价转化的技巧，不等式证明最基本的访求即为比较法，现在的高中教材对不等式的证明基本上就是要求掌握住比较法，综合法，分析法，不等式证明的难度与要求大降低，对基本的证明方法要认真研究其规律，娴熟运用．