题目内容
设a＞0，b＞0，a+b=1，求证：（1）
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
（2）（a+2）2+（b+2）2≥
| 25 |
| 2 |
分析：（1）利用1的代换把不等式的左边变形后，使用基本不等式可证不等式成立．
（2）用不等式的左边减去右边，再使用1的代换配方可证左边减去右边大于或等于0．
（2）用不等式的左边减去右边，再使用1的代换配方可证左边减去右边大于或等于0．
解答：证明：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=1，
左边=
+
+
=
+
+
=2+
+
+
+
=2+
+
+
+
=4+2
+2
≥4+2
=8，
∴
+
+
≥8成立．
（2）∵(a+2)2+(b+2)2-
=a2+b2+4a+4b-
=a2+b2-
=a2+b2-
=
=
≥0，
∴(a+2)2+(b+2)2 ≥
成立．
左边=
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
| a+b |
| ab |
| b |
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
=2+
| b |
| a |
| a |
| b |
| a+b |
| b |
| a+b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
2
|
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
（2）∵(a+2)2+(b+2)2-
| 25 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=a2+b2-
| (a+b)2 |
| 2 |
| a2+b2-2ab |
| 2 |
| (a+b)2 |
| 2 |
∴(a+2)2+(b+2)2 ≥
| 25 |
| 2 |
点评：本题考查基本不等式的应用，用比较法证明不等式，式子的变形是证明的关键．
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