Question

（12分）直线与双曲线相交于两点，
(1)求的取值范围
(2)当为何值时，以为直径的圆过坐标原点.

Answer 1

(1) ；（2）。

试题分析：（1）利用直线与双曲线交于不同的两点，所以它们的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，在二次项系数不为零的情况下，判别式应大于零.
(2)以AB为直径的圆过原点实质是,
从而借助直线方程和韦达定理得到关于a的方程求出a值.
(1) 由  可得：,依题意得
，
解之得：……6分
（2）、设两点的坐标分别为，由题意可知，所以：，由(1)知，
所以：
所以：，即………12分.
点评：（1）直线与双曲线的位置关系可以通过它们的方程联立消去y得到关于x的方程的根的个数来判断，进而可利用在保证二次项系数不为零的情况下，通过判别式来判断.
（2）以AB为直径的圆过原点，根据直径所对的圆周角为直角可得.