Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数大致图象，并直接写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0可得a，b之间的关系，然后由f（x）=x有两个相等的实数根可得△=0，从而可求a，b，进而可求函数解析式．
（2）确定二次函数的基本特征，作出函数的图象，结合函数的图象可写出函数的单调区间

解答：解：（1）∵f（2）=0
∴4a+2b=0即b=-2a
∵f（x）=x有两个相等的实数根．
即x²+（b-1）x=0有两个相等的实数根．
∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x²+x
（2）其图象如图所示
由函数的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（1，+∞）

点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，函数与方程的思想的相互转化及函数的 图象的作法