题目内容
【题目】已知直线与抛物线
交于
、
两点,
是坐标原点,
.
(1)求线段中点
的轨迹的方程;
(2)设直线与曲线
交于
、
两点,
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设,
,由
可解得
,联立直线
:
与抛物线,根据韦达定理可得
,则
,进而可知直线
恒过定点
,设
为
,由
,作差可得
,将直线的斜率公式代入,即可求得点
的轨迹方程,并检验
时是否满足;
(2)分别联立直线与点
的轨迹方程,直线
与抛物线
,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得
和
,由
可得
范围,进而求得
的范围,从而求解.
解:(1)设,
,
,
,即
,
,
,
设直线:
,代入
,
得,则
,
,解得
,
:
,
直线
过定点
,
设线段的中点坐标为
,
由,作差可得
,
,即
,
当时,中点
满足上述方程,
故轨迹的方程为
.
(2)由(1),由可得
,解得
或
,
与曲线
交于
,
两点,
,
当时,
;当
时,
,
设,
,
,
由可得
,则
,
所以,
,
则,
,
由交曲线
于
,
两点,知
,
,
,
故所求的取值范围是
.
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练习册系列答案
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进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采用方案
和方案
进行治疗,统计结果如下:
有效 | 无效 | 合计 | |
使用方案 | 96 | 120 | |
使用方案 | 72 | ||
合计 | 32 |
(1)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?
附:,其中
.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |