Question

【题目】在三棱柱中平面平面，，是棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】

（1）取的中点,连接与交于点，连接，,结合已知条件得是平行四边形，由平面平面的性质定理得平面，且，得平面，即可得结论；

（2）由已知条件得 面，以 分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）取的中点,连接与交于点，连接，,

则 为的中点， ,且，所以是平行四边形.

又是棱的中点，所以 .

侧面底面，，且 ，，

所以平面 ，得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）连接，因为，所以是等边三角形，设.

故 面 ，由已知可得 .以 分别为轴建立空间直角坐标系.

则 ， ，

设平面的法向量为 则，

所以 ，取 ，所以

设平面的法向量为

,

则，所以，取 ，

故 ，因为二面角为锐角，所以其余弦值为.