题目内容

【题目】设函数f(x)=| ﹣ax|,若对任意的正实数a,总存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥m,则实数m的取值范围为(
A.(﹣∞,0]
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.(﹣∞,3]

【答案】D
【解析】解:对任意的正实数a,总存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥mm≤f(x)max,x∈[1,4].

令u(x)= ﹣ax,∵a>0,∴函数u(x)在x∈[1,4]单调递减,

∴u(x)max=u(1)=4﹣a,u(x)min=1﹣a.①a≥4时,0≥4﹣a>1﹣a,则f(x)max=a﹣1≥3.②4>a>1时,4﹣a>0>1﹣a,则f(x)max={4﹣a,a﹣1}max<3.③a≤1时,4﹣a>1﹣a≥0,则f(x)max=4﹣a≥3.

综上①②③可得:m≤3.

∴实数m的取值范围为(﹣∞,3].

故选:D.

【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义,掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值即可以解答此题.

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