题目内容
【题目】[2018·郴州期末]已知三棱锥
中，
垂直平分
，垂足为
，
是面积为
的等边三角形，
，
，
平面
，垂足为
，
为线段
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求
与平面
所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
（1）要证线面垂直，一般先证线线垂直，这可由
和
是等边三角形及O是AB中点易得；
（2）要求直线与平面所成的角，一种方法作出线面角的平面角，然后解三角形得结论，也可建立空间直角坐标系，如解析中的坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，由方向向量与法向量的夹角与直线和平面所成角互余可得．
试题解析：
（1）证明：∵
垂直平分
，垂足为
，∴
.
∵
，∴
是等边三角形.
又
是等边三角形.
∴
是
中点，
，
.
∵
，
，
平面
，∴
平面.
（2）解：由（1）知
，平面
平面
.
因为平面与平面的交线为
.
∵
平面.∴
.
又等边面积为
，∴
又
，∴ 
是中点.
如图建立空间直角坐标系
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则
，取
，则
，
.
即平面
的一个法向量为
.
所以
与平面所成角的正弦值为
.
【题目】某地公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如下表：
乘公共电汽车方案 | 10公里（含）内2元； 10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含） |
乘坐地铁方案 | 6公里（含）内3元； 6公里至12公里（含）4元； 12公里至22公里（含）5元； 22公里至32公里（含）6元； 32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含） |
已知在一号线地铁上，任意一站到
站的票价不超过5元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示.
（Ⅰ）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；
（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6名学生中票价为3、4、5元的人数分别为3，2，1人，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；
（Ⅲ）小李乘坐一号线地铁从
地到站的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为
公里，试写出的取值范围.
【题目】某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:
打算观看 | 不打算观看 | |
女生 | 20 | b |
男生 | c | 25 |
（1）求出表中数据b，c;
（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关;
（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附： 
