Question

如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小的正切值．

Answer 1

分析：（I）取AC的中点0，连结OS、OB．由面面垂直性质定理，证出SO⊥平面ABC，从而建立如图所示空间直角坐标系．算出

AC

、

SB

的坐标，从而可得

AC

•

SB

=0，所以

AC

⊥

SB

，即AC⊥SB；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出

n

=（

2

，-

6

，1）为平面CMN的一个法向量，根据

OS

=（0，0，2

2

）为平面ABC的一个法向量，利用空间向量夹角公式算出cos＜

n

，

OS

＞=

1

3

．再由同角三角函数的基本关系算出tan＜

n

，

OS

＞=2

2

，即得二面角二面角N-CM-B的正切值．

解答：解：（Ⅰ） 取AC的中点0，连结OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又∵平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．
以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
可得A（2，0，0），B（0，2

3

，0），C（-2，0，0），S（0，0，2

2

），
M（1，

3

，0），N（0，

3

，

2

）．
∴

AC

=（-4，0，0），

SB

=（0，2

3

，-2

2

）．
∴

AC

•

SB

=-4×0+0×2

3

+0×（-2

2

）=0，
可得

AC

⊥

SB

，即AC⊥SB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CM

=（3，

3

，0），

MN

=（-1，0，

2

）
设

n

=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

CM • n =3x+ 3 y=0 MN • n =-x+ 2 z=0

，
取z=1，得x=

2

，y=-

6

，所以

n

=（

2

，-

6

，1）．
又∵

OS

=（0，0，2

2

）为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

|n| • |OS|

=

2 2

2+6+1 •2 2

=

1

3

，
可得sin＜

n

，

OS

＞=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，tan＜

n

，

OS

＞=2

2

，
即二面角二面角N-CM-B的正切值为2

2

．

点评：本题给出特殊的三棱锥，求证异面直线垂直并求二面角的正切之值，着重考查了利用空间向量研究空间直线的位置关系、平面与平面所成角的计算和同角三角函数基本关系等知识，属于中档题．