题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为 $数学公式$ ，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线 $数学公式$ 相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

解：（I）∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切
∴ $\text{[math]}$ ，∴c=1
∴a= $\text{[math]}$ ，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（II）直线y=x代入椭圆方程可得 $\text{[math]}$ =1，∴x=± $\text{[math]}$ ，∴|AB|= $\text{[math]}$
设椭圆上点的坐标为D（ $\text{[math]}$ cosα，sinα），则该点D到直线的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴△ABD面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，即可确定几何量的值，从而可得椭圆C的方程；
（II）直线y=x代入椭圆方程，可求|AB|的长，求出点D到直线的距离的最大值，即可求得△ABD面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出点到直线距离的最大值，属于中档题．