题目内容

设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
n
3
，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项；
（2）设bn=
n
an
，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（1）由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
n
3
?当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=
n-1
3
，两式作差求出数列{an}的通项．
（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．
解答：解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
n
3
，①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=
n-1
3
．②
①-②，得3n-1an=
1
3
，an=
1
3n
（n≥2），
在①中，令n=1，
得a1=
1
3
．∴an=
1
3n
．
（2）∵bn=
n
an
，
∴bn=n•3n．
∴Sn=3+2×32+3×33+…+n•3n．③
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④
④-③，得2Sn=n•3n+1-（3+32+33+…+3n），
即2Sn=n•3n+1-
3(1-3n)
1-3
．
∴Sn=
(2n-1)3n+1
4
+
3
4
．
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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