题目内容
(本小题满分13分)随着石油资源的日益紧缺,我国决定建立自己的石油储备基地,
已知某石油储备基地原储有石油吨,按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%,以后每年的进油量均为上一年底储油量的25%,且每年年内用出
吨,设
为正式运营后第
年年底的石油储量.(Ⅰ)求
、
、
; (Ⅱ)猜测出
的表达式并用数学归纳法予以证明;(Ⅲ)为抵御突发事件,该油库年底储油量不得少于
吨,如果
吨,该油库能否长期按计划运营?如果能,请加以证明;如果不能,请说明理由.(计算中可供参考的数据:
,
)
(Ⅰ)略(Ⅱ)略(Ⅲ)5
解析:
(Ⅰ)依题意,油库原有储油量为a吨,则,
,
,…;……3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)猜测:对于任意正整数恒有
,
下用数学归纳法证明:
1o当时,
,猜测成立;……4分
2o假设当时,
成立,……5分
那么,由,得
,
这就是说当时,猜测也成立,综合1o、2o知,对于
猜测都成立; 8分
(Ⅲ)如果吨时,该油库第
年年底的储油量不少于
吨,
,∴
≤3, …………10分
∴=
,
说明该油库只能在5年内运营,因此不能长期运营.……13分
本题考查数列知识、数学归纳法的应用、不等式的解法和数学应用能力,属较难题.

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