Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB =AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB =6，BC =4，求AE．

Answer 1

（1）由边角边即可证得   （2）

解析试题分析：（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵  ∠ABE=∠ACD           
又，∠BAE=∠EDC  ∵BD//MN   ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴ΔΔ（角、边、角）               
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC  BC=CD=4
又  ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB  
∴    BC=BE=4                                      
设AE=，易证 ΔABE∽ΔDEC
∴又 
∴     
考点：圆內接多边形的性质与判定与圆有关的比例线段
点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆内接多边形的性质与判定，考查用方程思想解决几何中要求的线段的长，本题是一个应用知识点比较多的题目．