题目内容

已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比数列.

(Ⅰ)求a的值及数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{logan}的前n项和为Tn.求使Tn>bn的最小正整数n.

 

【答案】

(Ⅰ)a=1,bn=8n-5;(Ⅱ)9.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)依据Sn=2n-a,根据数列的前n项和,求出数列{an}的通项公式,并且根据初始条件求出a=1,an=2n1,再根据b2+5,b4+5,b8+5成等比数列,得出(b4+5)2=(b2+5)(b8+5),解得d=0(舍去),或d=8,从而求出{bn}的通项公式为bn=8n-5;(Ⅱ)由(Ⅰ)an=2n1代入logan=2(n-1),易知该数列是等差数列,根据等差数列的前n项和,求出Tn=n(n-1),而bn=8n-5,根据Tn>bn,n(n-1)>8n-5,解得n≥9,故所求n的最小正整数为9.

试题解析:

(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2-a;

当n≥2时,an=Sn-Sn1=2n1

∵{an}为等比数列,

∴2-a=1,解得a=1.

∴an=2n1

设数列{bn}的公差为d,

∵b2+5,b4+5,b8+5成等比数列,

∴(b4+5)2=(b2+5)(b8+5),

又b1=3,

∴(8+3d)2=(8+d)(8+7d),

解得d=0(舍去),或d=8.

∴bn=8n-5.

(Ⅱ)由an=2n1,得logan=2(n-1),

∴{logan}是以0为首项,2为公差的等差数列,

∴Tn=n(n-1).

由bn=8n-5,Tn>bn,得

n(n-1)>8n-5,即n2-9n+5>0,

∵n∈N*,∴n≥9.

故所求n的最小正整数为9.

考点:1.数列通项公式的求解;2.等差、等比数列的性质应用.

 

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