题目内容
【题目】已知四棱锥中,底面
为菱形,
,
平面
,
、
分别是
、
上的中点,直线
与平面
所成角的正弦值为
,点
在
上移动.
(Ⅰ)证明:无论点在
上如何移动,都有平面
平面
;
(Ⅱ)求点恰为
的中点时,二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)推导出AE⊥PA,AE⊥AD,从而AE⊥平面PAD,由此能证明无论点F在PC上如何移动,都有平面AEF⊥平面PAD.
(Ⅱ)以A为原点,AE为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值.
(Ⅰ)连接
∵底面为菱形,
,
∴是正三角形,
∵是
中点,∴
又,∴
∵平面
,
平面
,
∴,又
∴平面
,又
平面
∴平面平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,
,
两两垂直,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
∵平面
,
∴就是
与平面
所成的角,
在中,
,即
,
设,则
,得
,
又,设
,则
,
所以,
从而,∴
,
则,
,
,
,
,
,
,
所以,
,
,
设是平面
一个法向量,则
取
,得
又平面
,∴
是平面
的一个法向量,
∴
∴二面角的余弦值为
.
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