题目内容
13.求函数f(x)=lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)的值域,单调性,奇偶性,反函数.分析 先分析真数部分(内函数)的值域和单调性,结合复合函数和对数函数的图象和性质,可得函数的值域,单调性,进而根据函数奇偶的定义,可判断出函数的奇偶性,再用y表示出x,进而可得函数的反函数.
解答 解:令t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$,则t′=1+$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$,
当x≥0时,t′≥1,当x<0时,$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$>-1,t′>0,
故t=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在R上为增函数,当x→-∞时,t→0,当x→+∞时,t→+∞,
即t∈(0,+∞),
故函数f(x)=lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)的值域为R;
在R上为增函数,
又由f(-x)+f(x)=lg(-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)+lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)=lg1=0得:f(-x)=-f(x),
故函数为奇函数,
令y=lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$),
则x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=10y,
则x=$\frac{1}{2}$•(10y-10-y),
故函数f(x)=lg(x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$)的反函数f-1(x)=$\frac{1}{2}$(10x-10-x)
点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,复合函数的图象和性质,反函数,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
练习册系列答案
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