题目内容

规定
Cmx
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C-153的值；
（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m∈N*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．
（1）由题意C-153=
-15×(-16)×(-17)
3!
=-C173=-680   …（4分）
（2）性质①Cnm=Cnn-m不能推广，例如x=
2
时，
C1
2
有定义，但
C
2
-1
2
无意义；
性质②Cnm+Cnm-1=Cn+1m 能推广，它的推广形式为Cxm+Cxm-1=Cx+1m，x∈R，m∈N*
证明如下：当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11；   …（1分）
当m≥2时，有Cxm+Cxm-1=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
+
x(x-1)…(x-m+2)
(m-1)!
=
x(x-1)…(x-m+2)
(m-1)!
×(
(x-m+1)
m
+1)=
x(x-1)…(x-m+1)(x+1)
m!
=Cx+1m，（6分）
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数Cxm∈z成立；
当0≤x＜m 时，
Cmx
=
x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)
m!
=0∈Z，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴Cxm=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
=（-1）m
(-x+m-1)…(-x+1)(-x)
m!
=（-1）mC-x+m-1m∈z（7分）
综上所述当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z
练习册系列答案
相关题目
规定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且Cx0=1，这是组合数Cnm（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1） 求C-155的值；
（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+1m．是否都能推广到Cxm（x∈R，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
规定Cmx=
x(x-1)…(x-m+1)
m！
，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C3-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
C
3
x
(C
1
x
)2
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A-153的值；
（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数Ax3的单调区间．
规定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且
C
0
x
=1，这是组合数
C
m
n
（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求
C
3
-15
的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
C
3
x
(
C
1
x
)2
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；①
C
m
n
=
C
n-m
n
；②
C
m
n
+
C
m-1
n
=
C
m
n+1
．是否都能推广到
C
m
x
（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
规定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C-153的值；
（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m∈N*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．

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