题目内容
规定Cmx=| x(x-1)…(x-m+1) |
| m！ |
（1）求C3-15的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
| ||
|
（3）组合数的两个性质；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
变式：规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A-153的值；
（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数Ax3的单调区间．
分析：（1）根据所给的组合数的推广式子，把组合数中的数字代入公式，写出公式的表示式，最后做出结果．
（2）根据组合数的推广式子，写出要求的结果，约分化简成最简形式，根据基本不等式求出式子的最小值，并求出取到最小值时对应的x的值．
（3）由题意知第一个性质不能推广，第二个式子能够推广，第一个性质只要举出反例就能够推翻，第二个式子可以进行证明，写出组合数的表示形式，化简整理，得到等式成立．
变式（1）根据所给的排列数的推广式子，把组合数中的数字代入公式，写出公式的表示式，最后做出结果
（2）两个式子都能够推广，分别证明两个性质是成立的，当n=1时，验证式子左右两边相等，当n不小于2时根据推广的排列数公式证明，得到结论成立．
（3）根据排列数公式，写出排列数的代数形式，本题是一个关于自变量的3次函数，要求单调区间需要对函数求导，根据导函数与零的关系得到函数的单调性，得到函数的单调区间．
（2）根据组合数的推广式子，写出要求的结果，约分化简成最简形式，根据基本不等式求出式子的最小值，并求出取到最小值时对应的x的值．
（3）由题意知第一个性质不能推广，第二个式子能够推广，第一个性质只要举出反例就能够推翻，第二个式子可以进行证明，写出组合数的表示形式，化简整理，得到等式成立．
变式（1）根据所给的排列数的推广式子，把组合数中的数字代入公式，写出公式的表示式，最后做出结果
（2）两个式子都能够推广，分别证明两个性质是成立的，当n=1时，验证式子左右两边相等，当n不小于2时根据推广的排列数公式证明，得到结论成立．
（3）根据排列数公式，写出排列数的代数形式，本题是一个关于自变量的3次函数，要求单调区间需要对函数求导，根据导函数与零的关系得到函数的单调性，得到函数的单调区间．
解答：解：（1）
=
=-680．
（2）
=
=
(x+
-3)．
∵x＞0，x+
≥2
．
当且仅当x=
时，等号成立．
∴当x=
时，
取得最小值．
（3）性质①不能推广，例如当x=
时，
有定义，但
无意义；
性质②能推广，它的推广形式是Cxm+Cxm-1=Cx+1m，m是正整数．
事实上，当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11．
当m≥2时．
+
=
+
=
[
+1]=
=
．
变式：解：（Ⅰ）A-153=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）
事实上，在①中，当m=1时，左边=Ax1=x，右边=xAx-10=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xAx-1m-1，
因此，①Axm=xAx-1m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=Ax+1m=右边，
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）成立．
（Ⅲ）先求导数，得（Ax3）′=3x2-6x+2．
令3x2-6x+2＞0，解得x＜
或x＞
．
因此，当x∈(-∞，
)时，函数为增函数，
当x∈(
，+∞)时，函数也为增函数．
令3x2-6x+2＜0，解得
＜x＜
．
因此，当x∈(
，
)时，函数为减函数．
所以，函数Ax3的增区间为(-∞，
)，(
，+∞)
函数Ax3的减区间为(
，
)
| C | 3 -15 |
| (-15)(-16)(-17) |
| 3! |
（2）
| ||
(
|
| x(x-1)(x-2) |
| 6x2 |
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| x |
∵x＞0，x+
| 2 |
| x |
| 2 |
当且仅当x=
| 2 |
∴当x=
| 2 |
| ||
(
|
（3）性质①不能推广，例如当x=
| 2 |
| C | 1
|
| C |
|
性质②能推广，它的推广形式是Cxm+Cxm-1=Cx+1m，m是正整数．
事实上，当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11．
当m≥2时．
| C | m x |
| C | m-1 x |
| x(x-1)…(x-m+1) |
| m! |
| x(x-1)…(x-m-2) |
| (m-1)! |
=
| x(x-1)…(x-m+2) |
| (m-1)! |
| x-m+1 |
| m |
| x(x-1)…(x-m+2)(x+1) |
| m! |
| C | m x+1 |
变式：解：（Ⅰ）A-153=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）
事实上，在①中，当m=1时，左边=Ax1=x，右边=xAx-10=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）
=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xAx-1m-1，
因此，①Axm=xAx-1m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=Ax+1m=右边，
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）成立．
（Ⅲ）先求导数，得（Ax3）′=3x2-6x+2．
令3x2-6x+2＞0，解得x＜
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
因此，当x∈(-∞，
3-
| ||
| 3 |
当x∈(
3+
| ||
| 3 |
令3x2-6x+2＜0，解得
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
因此，当x∈(
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
所以，函数Ax3的增区间为(-∞，
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
函数Ax3的减区间为(
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
点评：本题考查组合数和排列数的公式的推广，考查排列数和组合数的性质在推广以后是否适用，考查利用排列数和组合数的公式求解题的数值，考查函数的单调区间的求法，本题是一个综合题目，也是一个易错题．
练习册系列答案
相关题目