题目内容

15.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,求lg$\frac{a}{b}$的取值范围.

分析 由对数的运算变形已知式子可得lg2(bc)+lg$\frac{a}{b}$•lg(bc)+1=0,由关于lg(bc)的一元二次方程有实根可得△≥0,解不等式可得.

解答 解:∵lg(ac)•lg(bc)+1=0,
∴lg[$\frac{a}{b}$•(bc)]•lg(bc)+1=0
∴[lg$\frac{a}{b}$+lg(bc)]•lg(bc)+1=0,
∴lg2(bc)+lg$\frac{a}{b}$•lg(bc)+1=0
∵a、b、c为正数,∴bc>0,
由关于lg(bc)的一元二次方程有实根可得△≥0,
即△=lg2$\frac{a}{b}$-4≥0,解得lg$\frac{a}{b}$≥2或lg$\frac{a}{b}$≤-2,

∴lg$\frac{a}{b}$的取值范围为:(-∞,-2]∪[2,+∞)

点评 本题考查不等式的解法,涉及一元二次方程根的存在性,属基础题.

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