Question

如图，在四棱锥中，底面，， ，   ，是的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值

Answer 1

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．
而平面，．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．………………………………（8分）
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．所以二面角的正切值为．

(I)证明：即可.
(II)分别证明：即可.
(III)可以利用空间向量的知识直接求，也可以直接根据三垂线定理作出二面角的平面角解三角形即可