题目内容

.(本小题共13分)在平面直角坐标系xOy中,为坐标原点,动点与两个定点的距离之比为

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;

(Ⅱ)若直线与曲线交于两点,在曲线上是否存在一点,使得,若存在,求出此时直线的斜率;若不存在,说明理由.

 

【答案】

解:(Ⅰ)设点的坐标为,依题意,,         ………1分

    即 ,                   ……………………3分

    化简得

    所以动点的轨迹的方程为.             ……………………5分

(Ⅱ)因为直线与曲线相交于两点,

    所以

所以.             ……………………7分

    假设存在点,使得.                  ……………………8分

    因为在圆上,且

    由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形,

    所以互相垂直且平分,                      …………9分

    所以原点到直线的距离为.…………10分

    即 ,解得,经验证满足条件.……………………12分

    所以存在点,使得.                    ……………………13分

 

【解析】略

 

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