题目内容
.(本小题共13分)在平面直角坐标系xOy中,为坐标原点,动点
与两个定点
,
的距离之比为
.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若直线:
与曲线
交于
,
两点,在曲线
上是否存在一点
,使得
,若存在,求出此时直线
的斜率;若不存在,说明理由.
【答案】
解:(Ⅰ)设点的坐标为
,依题意,
, ………1分
即
,
……………………3分
化简得.
所以动点的轨迹
的方程为
.
……………………5分
(Ⅱ)因为直线:
与曲线
相交于
,
两点,
所以
,
所以或
.
……………………7分
假设存在点,使得
.
……………………8分
因为,
在圆上,且
,
由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形,
所以与
互相垂直且平分,
…………9分
所以原点到直线
:
的距离为
.…………10分
即
,解得
,
,经验证满足条件.……………………12分
所以存在点,使得
.
……………………13分
【解析】略
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