Question

已知实数x、y满足

x=1+cosθ y=sinθ

(θ为参数，0≤θ≤π)，，则

y

x-3

的取值范围是（　　）

• A．[-

  3

  3

  ，0]
• B．[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• C．[0，

  3

  3

  ]
• D．[-

  3

  ，0]

Answer 1

分析：将实数x、y代入

y

x-3

，构建函数g(x)=

sinθ

cosθ-2

，利用导数法确定函数的最值，从而确定

y

x-3

的取值范围

解答：解：由题意，

y

x-3

=

sinθ

cosθ-2

设g(x)=

sinθ

cosθ-2

，
∴g′(x)=

cosθ(cosθ-2)-sinθ×(-sinθ)

(cosθ-2)2

=

1-2cosθ

(cosθ-2)2

令g′（x）=0，则1-2cosθ=0
∵0≤θ≤π
∴θ=

π

3

∴函数在(0，

π

3

)上单调减，在(

π

3

，π)上单调增
∴θ=

π

3

时，函数取得最小值为g(

π

3

)=

sin π 3

cos π 3 -2

=-

3

3

∵g(0)=

sin0

cos0-2

=0，g(π)=

sinπ

cosπ-2

=0
∴θ取0或π时，函数取得最大值为0
∴

y

x-3

的取值范围是[-

3

3

，0]
故选A．

点评：本题以圆的参数方程为载体，考查函数的最值，考查导数的运用，有一定的综合性．