Question

已知二次函数f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a
（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程．
（2）若y=f（x）在区间[2，3]内有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）是真命题；依题意得 x²+（2a-1）x=0有实根，根据它的判别式△≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立，可得x²+（2a-1）x=0必有实根，从而得出结论（2）令二次函数f（x）=0，可得 x²=（x-1）（1-2a），即1-2a=

x2

x-1

．令g（x）=

x2

x-1

，利用导数符号求得g（x）在[2，3]上单调递增，由此求得g（x）的值域，可得1-2a的范围，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；
依题意：f（x）=1有实根，即 x²+（2a-1）x=0有实根，
由于判别式△=（2a-1）²-0=（2a-1）²≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立，
即x²+（2a-1）x=0必有实根，从而，方程f（x）=1必有实数根．
（2）令二次函数f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a=0，则 x²=（x-1）（1-2a）．
因为x∈[2，3]，所以x-1＞0，1-2a=

x2

x-1

．
令g（x）=

x2

x-1

，则 g′（x）=

x2-2x

(x-1)2

，
令 g′（x）=0，解得x₁=0（舍去），或x₂=2．
在[2，3]上，g′（x）＞0，g（x）在[2，3]上单调递增，
故g（x）的最小值为g（2）=4，最大值g（3）=

9

2

，
故4≤1-2a≤

9

2

，解得-

7

4

≤a≤-

3

2

，
所以实数a的取值范围为[-

7

4

，-

3

2

]．

点评：本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，属于基础题．