题目内容
【题目】给定公差大于0的有限正整数等差数列,其中,为质数.甲、乙两人轮流从个石子中取石子,规定:每次每人可取个石子,取走的石子不再放回,甲先取,取到最后一个石子者为胜.试问:谁有必胜策略?
【答案】见解析
【解析】
设,其中,.
令,.
那么,当时,乙有必胜策略;当时,甲有必胜策略;当时,两人都有不输的策略.
证明如下:
(1)当时,乙的策略为:若甲取个石子,则由等差数列的性质,存在,使,乙取个石子.这样,乙每次都保证他取后剩下的石子数模余0,这使得甲每次都不能使他取后剩下的石子数模余0,从而,甲无法取到最后一个石子.又每次操作,甲、乙合起来共取个石子,而是的倍数,若干次操作后,石子全部取走,乙可取到最后一个石子,故乙获胜.
(2)当时,甲的策略为:先取走个石子,则剩下的石子数模余0,转化为前面的情形(1),故甲获胜.
(3)当时,证明两人都有不输的策略.
由于,考察模数列.
因为的各项互不相同,所以,的各项互不相同.由此可以断言的各项不能都属于.
否则,是的一个排列,所以,
,即.
则.
又 ,
可得.故.
因为为质数,所以,或.
但,,矛盾,所以,中至少有一项,设为,它不属于.又由可知,.
从而,.
由此可见,甲可取个石子,使剩下的石子数模的余数仍属于,下一次操作无法取走所有石子.
类似地,乙也有同样的策略,直至无法取出石子,游戏终止.
于是,两人都有不输的策略.
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