Question

11．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个短轴端点$（{-\sqrt{2}，0}）$，短轴端点和焦点所组成四边形为正方形，直线l与y轴交于点Q（0，t），与椭圆C交于相异两点A、B，$\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{QB}$
（1）求椭圆的方程；  
（2）求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程，求出几何量，然后求解椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线方程为：y=kx+t，联立方程组，通过韦达定理，结合向量关系，即可求解t的范围．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）由题意可知椭圆的焦点在y轴上
设椭圆的方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$
由题意知：$b=\sqrt{2}，b=c$，又a²=b²+c²=2b²=4，∴a=2（3分）
所以，椭圆方程为：$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知，直线l的斜率存在
设直线方程为：y=kx+t$\left\{\begin{array}{l}{y^2}+2{x^2}=4\\ y=kx+t\end{array}\right.$
则（2+k²）x²+2tkx+t²-4=0，△=（2tk）²-4（2+k²）（t²-4）＞0$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{2tk}{{2+{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{{{t^2}-4}}{{2+{k^2}}}\end{array}\right.$（6分）
又由$\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{QB}$，即（-x₁，t-y₁）=2（x₂，y₂-t），得-x₁=2x₂∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-{x_2}\\{x_1}•{x_2}=-2x_2^2\end{array}\right.$即${x_1}•{x_2}=-2{（{{x_1}+{x_2}}）^2}$（8分）
可得：$\frac{{{t^2}-4}}{{2+{k^2}}}=-2{（{\frac{2tk}{{2+{k^2}}}}）^2}$，整理得：（9t²-4）k²=8-2t²
又∵9t²-4=0时不符合题意，∴${k^2}=\frac{{8-2{t^2}}}{{9{t^2}-4}}＞0$（10分）
解得：$\frac{4}{9}＜{t^2}＜4$，此时△＞0（11分）
解得；$\frac{2}{3}＜t＜2$或$-2＜t＜-\frac{2}{3}$
所以，t的取值范围为：$（{-2，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，2}）$（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的综合应用，韦达定理以及转化思想的应用．