Question

3．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），其中a＞0．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；
（2）讨论并求出函数f（x）在区间$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值；
（3）在（2）的条件下设h（x）=f（x）+x-1，对任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），证明：不等式$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}＜\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，然后判断函数的单调性求解函数的极大值，即可求解a的值．
（2）利用函数的导数通过
①$0＜a≤\frac{1}{e}$，②$\frac{1}{e}＜a＜e$，③a≥e，分别求解函数的最值即可．
（3）利用分析法证明$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}＜\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，即证明$\frac{{\frac{x_1}{x_2}-1}}{{\frac{x_1}{x_2}+1}}＜\frac{1}{2}ln\frac{x_1}{x_2}$，不妨设x₁＞x₂＞0，令$\frac{x_1}{x_2}=t$，则t＞1，则需证明$\frac{t-1}{t+1}-\frac{1}{2}lnt＜0$，构造函数利用函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$…（1分）
明显，当x∈$（0，\frac{1}{a}）$时，f'（x）＞0，当x∈$（\frac{1}{a}，+∞）$时，f'（x）＜0…（2分）
故函数f（x）在 $（0，\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减，…（3分）
因此函数f（x）在 （0，+∞）上有极大值$f（\frac{1}{a}）=-lna-1+a=0$…（4分）
∴lna=a-1解得a=1…（5分）
（2）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$
①若$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$，则当$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，有f'（x）≥0，
∴函数f （x）在$[\frac{1}{e}，e]$上单调递增，则f（x）_max=f（e）=1-ea+a． …（6分）
②若$\frac{1}{e}＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜e$，则函数f （x）在 $（\frac{1}{e}，\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{a}，e）$上单调递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-lna-1+a$．…（7分）
③若$\frac{1}{a}≤\frac{1}{e}$，即a≥e，则当$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，有f'（x）≤0，函数f （x）在$[\frac{1}{e}，e]$上单调递减，
则$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{e}）=-1-\frac{a}{e}+a$．…（8分）
综上得，当$0＜a≤\frac{1}{e}$时，f（x）_max=1-ea+a；
当$\frac{1}{e}＜a＜e$时，f（x）_max=-lna-1+a；
当a≥e时，$f{（x）_{max}}=-1-\frac{a}{e}+a$．…（9分）
（3）要证明$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}＜\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$
只需证明$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{ln{x_1}-ln{x_2}}}＜\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$…（10分）
只需证明$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}＜\frac{1}{2}（{ln{x_1}-ln{x_2}}）$即证明$\frac{{\frac{x_1}{x_2}-1}}{{\frac{x_1}{x_2}+1}}＜\frac{1}{2}ln\frac{x_1}{x_2}$，…（11分）
不妨设x₁＞x₂＞0，令$\frac{x_1}{x_2}=t$，则t＞1，则需证明$\frac{t-1}{t+1}-\frac{1}{2}lnt＜0$     …（12分）
令$g（t）=\frac{t-1}{t+1}-\frac{1}{2}lnt（t＞0）$，则$g′（t）=\frac{-（{t-1）}^{2}}{2t（t+1）^{2}}＜0$
∴g（t）在（1，+∞）上是单调函数，
∴$g（t）＜g（1）=0即\frac{t-1}{t+1}-\frac{1}{2}lnt＜0$．
故不等式$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}＜\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$得证．…（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，分析法构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．