Question

已知直线l₁：2x-λy=0，l₂是过定点A（0，2），且与向量

a

=（1，-

λ

2

）平行的直线，则l₁与l₂交点P的轨迹方程是

x²+（y-1）²=1

，轨迹是

以（0，1）为圆心、1为半径的圆

．

Answer 1

分析：设点B（x，y）是直线l₂上的动点，利用向量平行的条件并结合题意，算出过定点A（0，2）且与向量

a

=（1，-

λ

2

）平行的直线为l₂：y=-

λ

2

x+2，将其与直线l₁方程消去λ，化简整理得x²+（y-1）²=1，即可得到l₁与l₂交点P的轨迹是以以（0，1）为圆心，1为半径的圆，从而得到答案．

解答：解：设点B（x，y）是直线l₂上的动点，
∵l₂是过定点A（0，2），且与向量

a

=（1，-

λ

2

）平行的直线，
∴向量

AB

=（x，y-2）与向量

a

=（1，-

λ

2

）平行，可得x•（-

λ

2

）=1×（y-2）
整理得y=-

λ

2

x+2，即为l₂直线的方程
将l₂的方程与直线l₁：2x-λy=0消去λ，化简得x²+（y-1）²=1，即为l₁与l₂交点P的轨迹方程．
由圆的标准方程，可得该轨迹是以（0，1）为圆心，1为半径的圆．
故答案为：x²+（y-1）²=1，以（0，1）为圆心、1为半径的圆

点评：本题着重考查了向量平行的条件、动点轨迹方程的求法、圆方程的几种形式及其化简等知识，属于中档题．