题目内容
如图,直线L过点P(0,1),夹在两已知直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0之间的线段AB恰被点P平分.
(1)求直线l的方程;
(2)设点D(0,m),且AD∥l1,求:△ABD的面积.
(1)求直线l的方程;
(2)设点D(0,m),且AD∥l1,求:△ABD的面积.
分析:(1)设出直线l1上的动点B的坐标,由中点坐标公式求出A的坐标,代入直线l2的方程求得a的值;
(2)利用直线平行斜率相等求出m的值,得到D的坐标,由两点间的距离公式求出AD的长度,由点到直线的距离公式求出AD边上的高,代入面积公式得答案.
(2)利用直线平行斜率相等求出m的值,得到D的坐标,由两点间的距离公式求出AD的长度,由点到直线的距离公式求出AD边上的高,代入面积公式得答案.
解答:解:(1)∵点B在直线l1:2x+y-8=0上,可设B(a,8-2a),
又P(0,1)是AB的中点,
∴A(-a,2a-6),
∵点A在直线l2:x-3y+10=0上,∴-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即B(4,0).
故直线l的方程是x+4y-4=0;
(2)由(1)知A(-4,2),
又AD∥l1,则kAD=
=-2,
∴m=-6,则D(0,-6).
点A到直线l1的距离d=
=
,
|AD|=
=4
,
∴S△ABD=
|AD|•d=
•4
•
=28.
又P(0,1)是AB的中点,
∴A(-a,2a-6),
∵点A在直线l2:x-3y+10=0上,∴-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即B(4,0).
故直线l的方程是x+4y-4=0;
(2)由(1)知A(-4,2),
又AD∥l1,则kAD=
2-m |
-4-0 |
∴m=-6,则D(0,-6).
点A到直线l1的距离d=
|-4×2+2×1-8| | ||
|
14
| ||
5 |
|AD|=
(-4-0)2+(2+6)2 |
5 |
∴S△ABD=
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
14 | ||
|
点评:本题考查了点到直线的距离公式,考查了两条直线的交点问题,训练了直线平行和斜率的关系.
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