Question

在福建省第14届运动会（2010•莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）求证：△ECF周长p为定值；
（Ⅲ）求△ECF面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用∠EAF=45°及和角三角函数可构建x，y之间的关系，从而得出x，y之间的函数关系式；
（Ⅱ）关键是表达出△ECF的周长，结合（Ⅰ）将y=

a(a-x)

a+x

代入化简可证；
（Ⅲ）首先可以得到S=xy，因此要求面积的最大值，关键是求xy的最大值，利用（Ⅰ），结合基本不等式可以求出面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为∠EAF=45°，DF=x米，BE=y米，
所以tan(∠BAE+∠DAF)=

y a + x a

1- xy a2

=1，
所以a（x+y）=a²-xy，所以y=

a(a-x)

a+x

(0＜x＜a)；
（Ⅱ）△ECF的周长p=(a-y)+(a-x)+

(a-y)2+(a-x)2

=2a，
所以△ECF的周长p为定值；
（Ⅲ）S=

1

2

(a-x)(a-y)=xy，
由（Ⅰ）知a（x+y）=a²-xy，得a2-xy≥2a

xy

，解得

xy

≤(

2

-1)a，
当且仅当x=y=(

2

-1)a时，

xy

取到最大值(

2

-1)a，所以Smax=(3-2

2

)a2，
所以△ECF面积S的最大值为(3-2

2

)a2平方米．

点评：本题主要考查函数、不等式等基础知识；考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力；考查应用意识．