题目内容
2008年10月10日至15日，孝感市第三届运动会胜利召开．在安全保障方面，警方从警犬训练基地挑选防暴犬时，从体能、嗅觉、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4只警犬（分别记为A、B、C、D）拟参加挑选，且每只犬能通过体能、嗅觉、反应的概率分别为| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求犬A能够入选的概率；
（2）规定：每有一只防暴犬入选，则相应的训练基地积3分，否则积0分．求该基地总积分的期望．
分析：（1）将事件：“犬A能够入选”分解为四个事件的和，再分别用相互独立事件的概率乘法公式算出相应的概率，最后用概率的加法公式将所得概率相加，就得到犬A能够入选的概率；
（2）解法一：先通过基本事件可以数出变量ξ的取值有五种：0，3，6，9，12，再分别求出这五个变量值对应的概率，列出离散型随机变量的分布表格，最后根据这个二维表格可以算出基地总积分的期望值．
解法二：因为该基地总积分为ξ，ξ服从二项分布：η～B(4，
)，利用二项分布的公式可以求出E（η）=
，最后可以算出Eξ=E（3η）=4．
（2）解法一：先通过基本事件可以数出变量ξ的取值有五种：0，3，6，9，12，再分别求出这五个变量值对应的概率，列出离散型随机变量的分布表格，最后根据这个二维表格可以算出基地总积分的期望值．
解法二：因为该基地总积分为ξ，ξ服从二项分布：η～B(4，
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）记警犬A能够入选为事件A，则
P（A）=
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
=
=
-------（5分）
（2）解法一：记该基地总积分为ξ，则ξ的所有可能取值为：0，3，6，9，12．------（6分）
且P(ξ=0)=(1-
)4=
；
P(ξ=3)=
•
•(1-
)3=
；
P(ξ=6)=
•(
)2•(1-
)2=
；
P(ξ=9)=
•(
)3(1-
)=
；
P(ξ=12)=(
)4=
∴ξ的分布列为------------------------------（10分）
故期望Eξ=0×
+3×
+6×
+9×
+12×
=4------------------------------12
解法二：记该基地总积分为ξ，η只防爆犬入选，则η的所有可能值为0，1，2，3，4（6分）
因而η～B(4，
)，故Eη=4×
=
．（10分）
又ξ=3η
∴Eξ=E（3η）=3Eη=4．（12分）
答：（I）犬A能够入选的概率为
；（II）该基地总积分的期望为4．
P（A）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2+2+1+1 |
| 18 |
| 1 |
| 3 |
（2）解法一：记该基地总积分为ξ，则ξ的所有可能取值为：0，3，6，9，12．------（6分）
且P(ξ=0)=(1-
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 81 |
P(ξ=3)=
| C | 1 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 32 |
| 81 |
P(ξ=6)=
| C | 2 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
P(ξ=9)=
| C | 3 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 81 |
P(ξ=12)=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 81 |
| ξ | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
故期望Eξ=0×
| 16 |
| 81 |
| 32 |
| 81 |
| 8 |
| 27 |
| 8 |
| 81 |
| 1 |
| 81 |
解法二：记该基地总积分为ξ，η只防爆犬入选，则η的所有可能值为0，1，2，3，4（6分）
因而η～B(4，
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
又ξ=3η
∴Eξ=E（3η）=3Eη=4．（12分）
答：（I）犬A能够入选的概率为
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了离散型随机变量的期望与方差的算法，属于中档题．读懂题中的概率，准确运用概率的乘法公式和加法公式算出相应变量值的概率，利用随机变量的二维表格进行计算，是解决本题的关键．
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