题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆
的图像上运动时,点
在曲线
上运动,求曲线
的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形;
(3)过椭圆上异于其顶点的任意一点
作曲线
的两条切线,切点分别为
不在坐标轴上),若直线
在
轴,
轴上的截距分别为
试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1) (2)
,曲线
的图形是一个以坐标原点为圆心、
为半径的圆 (3)是定值,
【解析】
(1)由得
,再把点
坐标代入又得一方程,联立后可解得
得椭圆方程;
(2)设,用
表示
,把
代入椭圆方程可得曲线
方程,由方程可判断曲线形状;
(3)由(1)知,设点
,由
坐标可得切线方程,代入
点坐标于两切线方程后观察结论可得直线
方程,求出
,计算
,利用
在椭圆
上可得.
(1)由题意得,所以
又点在椭圆
上,所以
解得
所以椭圆的标准方程为
(2)设,则
,于是
,
由于点在椭圆
的图像上,
所以 即
整理得,
所以曲线的轨迹方程为
曲线的图形是一个以坐标原点为圆心,
为半径的圆.
(3)由(1)知,设点
则直线的方程为
①
直线的方程为
②
把点的坐标代入①②得
所以直线的方程为
令得
令
得
所以又点
在椭圆
上,
所以即
为定值.
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