题目内容

【题目】已知函数fx)=sinxcosxcos2x+1

1)求fx)的最小正周期和最大值,并写出取得最大值时x的集合;

2)将fx)的函数图象向左平移φφ0)个单位后得到的函数gx)是偶函数,求φ的最小值.

【答案】(1)最小正周期为Tπfx)取得最大值为2,此时x的集合为{x|xkZ}.(2)

【解析】

1)由三角函数公式化简可得fx)=sin2x+1,由此可得最小正周期及最大值,由当且仅当2x2kZ时,fx)取得最大值,解出x的集合;

2)通过平移变换可得gx=sin2x+2φ+1,若函数gx)是偶函数,运用三角函数的诱导公式,令kZ即可,从而得到φ的最小值.

1fx)=sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1sin2x+1

所以函数fx)的最小正周期为Tπ

当且仅当2x2kZ时,fx)取得最大值为2

此时x的集合为{x|xkZ}.

2gx)=fx+φ)=sin2x+2φ+1

因为gx)是偶函数,

所以2φkZ,即φkZ

所以φ的最小值为.

练习册系列答案
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析

【解析】

Ⅰ)由题意可求得,则,椭圆的方程为.

Ⅱ)设

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时,.

当直线的斜率存在时,,设直线的方程为联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线的斜率为直线的斜率为.综上可得:直线的斜率之积为定值.

Ⅰ)设由题

解得,则椭圆的方程为.

Ⅱ)设,当直线的斜率不存在时,

,则,直线的方程为代入

可得 ,则,

直线的斜率为,直线的斜率为

当直线的斜率不存在时,同理可得.

当直线的斜率存在时,设直线的方程为

则由消去可得:

,则,代入上述方程可得:

设直线的方程为,同理可得

直线的斜率为

直线的斜率为 .

所以,直线的斜率之积为定值,即.

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

型】解答
束】
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