Question

（2013•顺义区一模）设函数f（x）=

1

3

x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=1-2b时，若函数f（x）+g（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=1-2b=1时，求函数f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出f'（x），g'（x），由题意得f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1），解该方程组即可；
（II）记h（x）=f（x）+g（x），当a=1-2b时，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在（-2，0）内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可；
（III）当a=1-2b=1时，h(x)=

1

3

x3-x-1．由（II）可知，函数h（x）的单调区间及极值点，按照在区间[t，t+3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值；

解答：解：（I）f'（x）=x²-a，g'（x）=2bx．
因为曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1），即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=

1

3

，b=

1

3

．
（II）记h（x）=f（x）+g（x），
当a=1-2b时，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a，h'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），
令h'（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a），
故h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，
从而函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

，
所以a的取值范围是(0，

1

3

)．
（III）记h（x）=f（x）+g（x），当a=1-2b=1时，h(x)=

1

3

x3-x-1．
由（II）可知，函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）．
①当t+3＜-1时，即t＜-4时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(t+3)=

1

3

(t+3)3-(t+3)-1=

1

3

t3+3t2+8t+5；
②当t＜-1且-1≤t+3＜1，即-4≤t＜-2时，h（x）在区间[t，-1）上单调递增，在区间[-1，t+3]上单调递减，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(-1)=-

1

3

；
当t＜-1且t+3≥1，即-2≤t＜-1时，t+3＜2且h（2）=h（-1）=-

1

3

，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(-1)=-

1

3

；
③当-1≤t＜1时，t+3≥2＞1，h（x）在区间[t，1）上单调递减，在区间[1，t+3]上单调递增，
而最大值为h（t）与h（t+3）中的较大者．
由h（t+3）-h（t）=3（t+1）（t+2）知，当-1≤t＜1时，h（t+3）≥h（t），
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5；
④当t≥1时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，
所以h（x）在区间[t，t+3]上的最大值为h(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的零点及函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大．