题目内容
(本小题满分12分)
已知一四棱锥
的底面是边长为1的正方形,侧棱
底面
,且
.
(1)求证:
平面
(2)若点
为
的中点,求二面角
的大小.

已知一四棱锥




(1)求证:


(2)若点




解:(1)证明:连接
,∵
是正方形,∴
.
∵
底面
且
平面
,∴
.
又∵
,∴
平面
. …………6分
(2)解法一:在平面
内过点
作
于
,连接
,
.
因为
,
,
所以
平面
,所以
,
所以
为二面角
的平面角
又
,
,所以
.
在Rt
中,
同理,在Rt
中,
在
中,由余弦定理得
.
所以
,即二面角
的大小为
.………………………12分
解法二:以点
为坐标原点,
所在的直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则
,
,
,
,从而
,
,
,
.
设平面
和平面
的一个法向量分别为
,
,
由法向量的性质可得:
,
,
,
,
令
,
,则
,
,∴
,
.
设二面角
的平面角为
,则
.
∴
,即二面角
的大小为



∵





又∵



(2)解法一:在平面



于



因为


所以



所以


又



在Rt


同理,在Rt


在


所以



解法二:以点








则








设平面




由法向量的性质可得:




令






设二面角



∴



略

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