题目内容
(本小题满分12分)
已知一四棱锥
的底面是边长为1的正方形，侧棱
底面
，且
．
（1）求证：
平面
（2）若点
为
的中点，求二面角
的大小．
已知一四棱锥
的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且． （1）求证：
平面（2）若点
为的中点，求二面角的大小．解：（1）证明：连接
，∵是正方形，∴
．
∵底面且
平面，∴
．
又∵
，∴平面． …………6分
（2）解法一：在平面
内过点
作
于
，连接
，
．
因为
，，
所以
平面
，所以
，
所以
为二面角
的平面角
又
，
，所以
．
在Rt
中，
同理，在Rt
中，
在
中，由余弦定理得
．
所以
，即二面角的大小为
．………………………12分
解法二：以点
为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则
，
，
，
，从而
，
，
，
．
设平面
和平面
的一个法向量分别为
，
，
由法向量的性质可得：
，
， 
，
，
令
，
，则
，
，∴
，
．
设二面角的平面角为
，则
．
∴
，即二面角的大小为
，∵是正方形，∴．∵
底面且平面，∴．又∵
，∴平面． …………6分（2）解法一：在平面
内过点作于
，连接，．因为
，，所以
平面，所以，所以
为二面角的平面角又
，，所以．在Rt
中，同理，在Rt
中，在
中，由余弦定理得．所以
，即二面角的大小为．………………………12分解法二：以点
为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则
，，，，从而，，，．设平面
和平面的一个法向量分别为，，由法向量的性质可得：
，， ，，令
，，则，，∴，．设二面角
的平面角为，则．∴
，即二面角的大小为略
练习册系列答案
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,且
，沿
将其折成一个二面角
，使
.
与平面
所成的角的余弦值；
到平面
的距离.
棱长为2的正方体
中，
、
分别为
、
的中点．
//平面
；
；
的体积．
中，异面直线
与
所成角的大小是( )
中，
，点
在
上且
平面
；(2)求二面角
的余弦值
中，
，又
⊥平面
．
上存在一点
，使
，
的取值范围；
的余弦值．
中，两对棱
，其余各棱均为
，则二面角
的大小为 ▲