题目内容

某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为米，钢筋网的总长度为米．

（1）列出与的函数关系式，并写出其定义域；
（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？

（1）
（2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小.
（3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小

解析试题分析：（1）根据矩形的面积求出解析式，注意函数的定义域
（2）利用基本不等式求解，注意等号成立的条件
（3）利用函数的单调性求解（导数或单调性定义）
试题解析：（1）矩形的宽为：米

定义域为
注：定义域为不扣分
（2） 
当且仅当 即时取等号，此时宽为：米
所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．
（3）法一：，

当时，
 在上是单调递减函数
当时，，此时，长为25米，宽为米
所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．
法二：设，，
则   
，
，
在上是单调递减函数
当时，
此时，长为25米，宽为米
所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．
考点：基本不等式的应用，函数的单调性,最值

练习册系列答案
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已知函数f(x)＝3x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．

已知函数，.
（1）求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；
（2）当时，函数的最大值是关于的函数.求；
（3）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.

某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．
设()百米，百米.

(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；
(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．

对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

已知的图象关于坐标原点对称。
(1)求的值，并求出函数的零点；
(2)若函数在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围；
(3)设，已知的反函数=，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值。

已知函数．
（1）若对于区间内的任意，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求：
①实数的取值范围； ②的取值范围．

经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式；
(2)求日销售额S的最大值．

已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))
处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)(n∈N＋)，其中x1为正实数．
(1)用xn表示xn＋1；
(2)求证：对一切正整数n，xn＋1≤xn的充要条件是x1≥2；
(3)若x1＝4，记an＝lg ，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．

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