Question

（2012•泰州二模）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P₀出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P₁后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的点P₂，P₃，P₄处．
（1）若点P₄与P₀重合，求tanθ的值；
（2）设tanθ=t，若P₄落在A，P₀两点之间，且AP₀=2．将五边形P₀P₁P₂P₃P₄的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）设P₀B=m（0＜m＜3），给出P₁B、P₁C关于m和tanθ的式子，利用解直角三角形分别算出P₂C、P₂D、P₃D、P₃A，从而可得AP₄=

P3A

tanθ

=

4

tanθ

-3-m，根据点P₄与P₀重合得AP₄+P₀B=3，化成关于tanθ的式子，可得tanθ的值；
（2）当AP₀=2即m=1，结合（I）得AP₄=

4

t

-4．由P₄落在A，P₀两点之间解得0＜AP₄＜2，从而tanθ=t∈（

2

3

，1）．由五边形面积S=S_ABCD-S△BP 0P1- S△CP 1P2- S△DP 2P3- S△AP 3P4，将S化成关于t的函数S=32-（17t+

12

t

），再利用基本不等式求最值可得当t=

12 17

时，S的最大值为32-4

51

．

解答：解：（1）设P₀B=m（0＜m＜3），可得
P₁B=mtanθ，P₁C=2-mtanθ，
P₂C=

P1C

tanθ

=

2

tanθ

-m，P₂D=3+m-

2

tanθ

∴P₃D=P₂D•tanθ=（3+m）tanθ-2，P₃A=4-（3+m）tanθ
可得AP₄=

P3A

tanθ

=

4

tanθ

-3-m
∵点P₄与P₀重合，∴AP₄+P₀B=3，
即

4

tanθ

-3-m+m=3，可得

4

tanθ

=6，解之得tanθ=

2

3

；
（2）当AP₀=2即m=1，由（I）可得AP₄=

4

tanθ

-4
∵P₄落在A，P₀两点之间，可得0＜AP₄＜2，即tanθ=t∈（

2

3

，1）
∴S=S_ABCD-S△BP 0P1- S△CP 1P2- S△DP 2P3- S△AP 3P4
=6-

1

2

t-

1

2

（2-t）（

2

t

-1）-

1

2

（4-

2

t

）（4t-2）-

1

2

（4-4t）（

4

t

-4）
=32-17t-

12

t

=32-（17t+

12

t

）≤32-2

17t• 12 t

=32-4

51

由此可得：当且仅当t=

12 17

时，S的最大值为32-4

51

．

点评：本题给出实际应用问题，求函数五边形面积的最大值．着重考查了解直角三角形、三角形的面积公式和利用基本不等式求函数的最值等知识，属于中档题．