Question

4．下列函数：①$f（x）=\sqrt{1-{x^2}}+\sqrt{{x^2}-1}$；②f（x）=$ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$；③f（x）=$\frac{{{3^x}-{3^{-x}}}}{2}$；④f（x）=$lg\frac{1-x}{1+x}$．其中奇函数是①②③④．（填序号）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，即x²=1，
则x=1或x=-1，即函数的定义域为{1，-1}，
则此时f（x）=0，既是奇函数也是偶函数．
②f（-x）+f（x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x²+1-x²）=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数．
③f（x）=$\frac{{3}^{-x}-{3}^{x}}{2}$=-$\frac{{{3^x}-{3^{-x}}}}{2}$=-f（x），则函数f（x）为奇函数．
④由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
则f（-x）+f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$=lg（$\frac{1+x}{1-x}$•$\frac{1-x}{1+x}$）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数．
故答案为：①②③④

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先判断定义域是否关于原点对称．