Question

12．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）sin²B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b²=2ac，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵sin²B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{k}$＞0，
代入可得（bk）²=2ak•ck，
∴b²=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-{a}^{2}}{2a×\frac{1}{2}a}$=$\frac{1}{4}$．
（II）由（I）可得：b²=2ac，
∵B=90°，且a=$\sqrt{2}$，
∴a²+c²=b²=2ac，解得a=c=$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$=1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．