Question

已知命题p：方程x2+

y2

k-t

=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：函数f（x）=x²-kx+1有两个不同的零点．
（1）当t=0时，“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数k的取值范围；
（2）若p是￢q的必要不充分条件，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当t=0时，分别求出命题p，q的等价条件，然后利用，“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求实数k的取值范围；
（2）求出命题￢q，利用p是￢q的必要不充分条件，求实数t的取值范围．

解答：解：（1）当t=0，若方程x2+

y2

k-t

=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k＞1，
即p：k＞1．
∵函数f（x）=x²-kx+1有两个不同的零点．
∴△=k²-4＞0，解得k＞2或k＜-2，即q：k＞2或k＜-2．
∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假，
∴p，q一真，一假，
若p真q假，则

k＞1 -2≤k≤2

，解得1＜k≤2，
若p假q真，则

k≤1 k＞2或k＜-2

，解得k＜-2，
综上1＜k≤2或k＜-2．
（2）若方程x2+

y2

k-t

=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则k-t＞1，即p：k＞t+1．
由（1）知q：k＞2或k＜-2，
∴￢q：-2≤k≤2．
要使p是￢q的必要不充分条件，
则￢q⇒p，但p⇒￢q不成立．
即：t+1＜-2，解得t＜-3

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，以及利用充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方法．