Question

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|＜m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=x²；
②f（x）=sinx+cosx；
③f(x)=

x

x2+x+1

；
④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函数的序号为（　　）

• A、②④
• B、①③
• C、③④
• D、①②

Answer 1

分析：本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可．

解答：解：对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数；
对于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函数；
对于③，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故对任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函数；
对于④，f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0，由奇函数的性质知，f（0）=0，故有|f（x）|＜2|x|．显然是F函数
故选C

点评：本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明．