题目内容
【题目】已知圆的圆心在原点,半径为
,若圆
与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形(记为
)设点
在
轴的负半轴上,以点
、
和点
为顶点的三角形的面积为
.
(1)求圆的半径
及点
的坐标;
(2)若过点的直线
与圆
相交于
两点,当线段
的中点落在正方形
内(包括边界)时,求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)圆的方程为:
,
,
;(2)
【解析】
(1)由圆与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为
,求得
,即可求得圆
的方程
设点由
,
,以点
、
和点
为顶点的三角形的面积为
,即可得出
到直线
的距离为
.即可求得
.
(2)设出直线的方程,将直线的方程与圆方程联立,利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标,根据中点在正方形的内部,得到中点的坐标满足的不等关系,求出的范围.
(1)圆
与坐标轴的交点为顶点的四边形是一个面积为
,圆
的方程为:
.
设点,
,
,以点
、
和点
为顶点的三角形的面积为
,得出
到直线
的距离为
.则
,求得
(舍)或
,
.
所以:圆的方程为:
,
,
.
(2)
如图,设的坐标分别为
,
,线段
的中点为
,由
得:
,
由
解得:.
因为,
,
,
因为,所以
不可能在
轴右边,又直线
,
,当
落在正方形内(包括边界)时,则有
,
即化简得:
,
解得:.
直线的斜率的取值范围
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