Question

已知椭圆的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点且当时，M是椭圆的上顶点，且△的周长为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为A，直线与直线：

分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆

被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，

说明理由.

Answer 1

解：（1）当时，直线的倾斜角为，所以：…………3分

解得：， …………………………………………………………5分

所以椭圆方程是：；…………………………………………………………6分

（1）     当时，（2） 直线的方程为：，（3）   此时，（4）    点的坐标（5）  分别是，（6）     又点坐标（7） 是，（8）  由图可以得到两点坐标（9）    分别是，（10）    以为直径的圆过右焦点，（11）      被轴截得的弦长为6，（12）   猜测当变化时，（13）     以为直径的圆恒过焦点，（14）    被轴截得的弦长为定值6，（15）   ………………………………………………………………8分

证明如下：

设点点的坐标分别是，则直线的方程是：，

所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分

由方程组得到：，

所以：，……………………………………………11分

从而：

=0，

所以：以为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6.……………13分