Question

10．已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设$a=\frac{1}{3}$，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．
（2）利用函数解析式可求得f（-x）=-f（x），进而判断出函数为奇函数．
（3）将不等式进行转化，结合对数函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），则$\left\{{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}}\right.$解得-1＜x＜1．
故所求定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）f（x）为奇函数．
理由如下：由（1）知f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
故f（x）为奇函数．
（3）由f（x）＞0得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x），
设$a=\frac{1}{3}$，则函数y=log_ax为减函数，
则不等式等价为x+1＜1-x，
即x＜0，
∵定义域为{x|-1＜x＜1}．
∴-1＜x＜0．
即不等式的解集为（-1，0）．

点评 本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握．