题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,讨论函数
的单调性;
(2)设,是否存在实数
,对任意
,
,
,有
恒成立?若存在,求出
的范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)存在,.
【解析】
(1)先求导,再讨论
的取值范围,求出函数的单调区间即可;
(2)先假设存在实数,
,所以可设
,由此能得到:
,根据单调性的定义,令
,要使函数
在
上是增函数,只要函数在
上的导数值大于等于
即可,继而求出
的范围.
(1)函数的定义域为
,
,
①若,则
,
,且只在
时取等号,∴
在
上单调递增;
②若,则
,而
,∴
,当
时,
;当
及
时,
,所以
在
上单调递减,在
及
上单调递增;
③若,则
,同理可得:
在
上单调递减,在
及
上单调递增;
综上,当时,
在
上单调递减,在
及
上单调递增;
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减,在
及
上单调递增;
(2),
假设存在,对任意
,
,
,有
恒成立,
不妨设,要使
恒成立,即必有
,
令,即
,
,
要使在
上为增函数,
只要在
上恒成立,须有
,
,故存在
时,对任意
,
,
,有
恒成立.
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