Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+tsin²x-$\frac{1}{2}$（t∈R）的图象过点（$\frac{π}{12}$，0）．
（1）求t的值；
（2）△ABC中的角A、B、C的对边分别是a，b，c，若满足acosB+bcosA=2ccosB，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据f（x）的图象经过点（$\frac{π}{12}$，0）求得t的值，可得f（x）的解析式．
（2）由条件利用正弦定理求得B的值，可得A的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+tsin²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+t•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$，
由f（x）的图象经过点（$\frac{π}{12}$，0）可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{t}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$=0，求得t=1，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）△ABC中，由acosB+bcosA=2ccosB，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinC•cosB，
化简可得sin（A+B）=2sinC•cosB，求得cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．
故A∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，π），f（A）=sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．