Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，，，，设的外接圆圆心为.

（1）若与直线相切，求实数的值；

（2）设点在上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的是否存在？若存在求出的标准方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】解：（1）直线方程为，圆心，半径.

由题意得，解得……6分

（2）∵，

∴当面积为时，点到直线的距离为，

又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，

此时，⊙E的标准方程为14分

【解析】

试题（1）先求出圆心坐标和半径，由圆心到切线的距离等于半径，解出实数a的值；（2）要使 △PCD的面积等于12的点P有且只有3个，则⊙E上到直线CD的距离为，圆心E到直线CD的距离为2，由点到直线的距离公式列出方程，解得a值，代入圆的标准方程即可求得.

试题解析：解：（1）直线CD的方程为y=x+4,圆E的圆心为E(,),半径为r=a.

由圆E与直线CD相切，得=a,

解得a="4."

（2）因为|CD|==4,

所以当△PCD面积为12时,点P到直线CD的距离为3.

又圆心E到直线CD距离为2(定值),

要使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,需圆E的半径=5,

解得a="10,"

此时,圆E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2="50."