Question

6．若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有4a_n-3S_n=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1$\frac{4（n+1）}{{{{log}_2}{a_n}{{log}_2}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由4a_n-3S_n=8，当n=1时，得4a₁-3a₁=8，解得a₁=8．
由4a_n-3S_n=8…①，
当n≥2时，4a_n-1-3S_n-1=8…②，
①-②得：a_n=4a_n-1，
∴数列{a_n}是（首项a₁=8，公比q=4的）等比数列，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=8×{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$，
（Ⅱ）由（1）log₂a_n=2n+1知：${b_n}={（-1）^{n-1}}\frac{4（n+1）}{{{{log}_2}{a_n}{{log}_2}{a_{n+1}}}}={（-1）^{n-1}}\frac{4（（n+1））}{（2n+1）（2n+3）}$，
∴${b_n}={（-1）^{n-1}}（{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}}）$，
当n为偶数时，${T_n}=（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）-（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$，
当n为奇数时，${T_n}=（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+…-（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）+（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}，n为奇数}\\{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．