Question

已知函数f（x）=3^x+1+9^x-12的反函数是f^-1（x）．
（1）求f^-1（6）的值；   
（2）要使f^-1（a）有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求f^-1（6）的值，令3^x+1+9^x_12=6求出相应的x的值，根据原函数与反函数的关系可得结论； 
（2）要使f^-1（a）有意义即使方程 3^x+1+9^x-12=a有解，将a分离出来，求出等式另一侧的取值范围即可，注意到3^x自身的范围．

解答：解：（1）令3^x+1+9^x_12=6…（4分） 
解得3^x=3或3^x=-6（舍去）
解得x=1…（5分）
即f ^-1（6）=1…（6分）
（2）令 3^x+1+9^x-12=a，…（9分）
即a=(3x+

3

2

)2-

57

4

＞-12注意到（3^x＞0），…（11分）
∴a∈（-12，+∞）时，f^-1（a）有意义．…（13分）

点评：本题主要考查了反函数，以及原函数与反函数的关系，同时考查了指数型复合函数的性质及应用，属于中档题．