Question

【题目】如图，已知椭圆过点两个焦点为和.圆O的方程为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过且斜率为的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当成等差数列时，求弦PQ的长.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出，设椭圆的方程为，将点代入，解得，然后求解椭圆的方程．

（2）由椭圆定义，，，通过，，成等差数列，推出． 设，，通过解得，然后求解直线方程，推出弦的长即可．

（1）由题意，，

设椭圆C的方程为，将点代入，

解得或（舍去），

所以，椭圆C的方程为.

（2）由椭圆定义，，两式相加，得

，因为成等差数列，

所以，

于是，即.

设，由解得，

所以，，直线l的方程为，

即，

圆O的方程为，圆心O到直线l的距离，

此时，弦PQ的长.